dropbooks（ドロップブックス）とDropbox（ドロップボックス）は全くの別物です。
dropbooksはDropboxとは全然違うサービス
dropbooksはDropboxとは全然違うサービスです。
dropbooksは大手エロ漫画サイトです。
ちなみにdropbooksはすでに閉鎖していたりします。
より詳しくは下記の記事をご覧ください。
【関連記事】
【最新版】dropbooks（ドロップブックス）が閉鎖。代替サービスを紹介！
一方で、Dropboxとは世界大手のオンラインストレージサービスです。
けしてdropbooksのようなエッチなサービスではありません笑
Dropboxの知名度はめちゃくちゃ高いです（まあ、dropbooksの知名度もある意味高いですが……）。
私も実際にDropboxを使っていますが、なかなか便利ですよ。スマホに入りきらないファイルなどを入れたりします。
ちなみに、dropbooksに投稿されていたような著作権侵害系のファイルをDropboxのオンラインストレージに入れた場合、Dropboxの著作権ポリシーに従って削除される場合があります。
【関連記事】
Dropbox 著作権ポリシー | Dropbox ヘルプ
その際、ファイルの中身は見られていないとのこと（↓） ファイルの中身を見ずに判別するなんて、なんだか凄いですよね～。
【関連記事】
Dropboxはどうやって著作権侵害ファイルを特定しているの？ | ギズモード・ジャパン
dropbooksがDropboxの名前をパクっただけと考えられる
dropbooksとDropboxの名前が似ている理由は、単純に「dropbooksがDropboxの名前をパクった（似せた）」説が一番可能性として濃厚かと思います。
時系列的にもDropboxのほうが先です（dropbooksは2014年頃から、Dropboxは2008年頃からサービス開始）。
まあ、わざわざ時系列とか考えなくとも、Dropboxのほうがdropbooksをパクったという可能性はフツーに0ですが……笑
dropbooksは基本的に何でもアリのサイトでしたからねー。ジョーク的な意味合いもあるでしょうし、Dropboxにちなんだ名前を付けることで、（dropbooksという）サイト名を覚えやすくするという狙いもあったのではないかと思います。
dropbooksが閉鎖してしまった今、その真意は運営者にしか分かりませんが……
以上、「dropbooksとDropboxは全くの別物です」でした。参考になれば幸いです。